Как правильно писать: впоследствии или впоследствие, вследствии или вследствие?

Это два разных слова, путать их не стоит. Впоследствии - значит, после. Это слово пишется через И.

Примеры:

• Растение цветет, впоследствии плодоносит.
• Прошел стажировку, впоследствии трудоустроился.
• Вследствие - значит, следующее обстоятельство происходит благодаря предыдущему. Пишется через Е.

Например:

• Не накачивал вовремя колеса, вследствие чего попал в аварию.
• Электричество отключили вследствие ливня и урагана.